Comment modélise-t-on un problème en mathématiques ?

Bonjour !

Si tu es ici c'est que tu veux participer au Rallye Modélisation et que tu cherches à comprendre ce que ça veut dire "modéliser".

Tu as normalement déjà lu mon petit mot sur le Padlet pour présenter rapidement le cycle de modélisation, mais je te le replace ici quand même .

Pour t'expliquer comment la modélisation fonctionne concrètement, je vais reprendre l'exemple proposé dans l'article de Blum & Leiss de 2005. Tu peux trouver leur article ici, mais c'est un article de recherche, donc il est payant malheureusement ... Un des énormes défauts de la recherche ... Donc je vais te présenter l'exemple de manière détaillée ci-dessous :

Traduction : Le téléphérique du Pain de Sucre (une montagne brésilienne) met environ 3 minutes pour faire le trajet de la station, située dans la vallée, au sommet du Pain de Sucre à Rio de Janeiro. Il a une vitesse de 30 km/heure et le dénivelé du trajet est 180m (il y a une différence d'altitude de 180m entre l'altitude de la station dans la vallée et celle du sommet de la montagne). L'ingénieur en chef, Guiseppe Pelligrini, préfère marcher, comme il le faisait avant que le téléphérique existe et qu'il était encore un montagnard, et commence par courir depuis la station dans la vallée jusqu'au pied de la montagne, puis il grimpe la montagne en 12 minutes (!!!). Quelle distance, approximative, a-t-il eu à courir dans la plaine, entre la station et le pied de la montagne ?

C'est bien un article de modélisation car :

- on a un problème réel : calculer une distance dans la réalité

- on n'a pas toutes les données pour résoudre le problème. Il ne suffit pas de faire un calcul avec des valeurs données dans l'énoncé, nous allons devoir poser un modèle sur l'énoncé, puis faire des hypothèses.

On va donc suivre le cycle de modélisation proposé par Blum & Leiss.

Etape 1 :

On doit comprendre le problème. Pour cela, on va le schématiser :

On y voit à présent un peu plus clair. On connait le temps mis par le téléphérique pour atteindre le sommet depuis la station : 3 minutes. On sait aussi que le téléphérique se déplace à 30 km/heure. On sait que la montagne a une hauteur de 180m, et que Guiseppe met 12min à la grimper (!!!). Ce qui nous intéresse, c'est la distance que Giuseppe parcourt entre la station et le pied de la montagne.

Etape 2 :

On simplifie le problème. On va approximer la réalité pour la rendre plus simple et nous rapprocher d'une situation mathématique connue. On va donc faire les approximations suivantes :

- le téléphérique parcourt un segment entre la station et le sommet

- la montagne est représentée par un segment vertical de longueur 180m, reliant le pied de la montagne à son sommet

- la vallée est représentée par un segment horizontal qui relie la station au pied de la montagne

- le segment représentant la montagne est perpendiculaire au segment représentant la vallée

- le téléphérique a une vitesse constante de 30 km/heure sur tout son trajet

Ainsi, ce qui nous intéresse est la longueur du segment représentant la vallée.

A partir de là, le problème devient mathématique.

Etape 3 :

Le problème dans le monde mathématique est le suivant : on a un triangle rectangle dont on connait une longueur, la durée nécessaire à parcourir l'hypoténuse à une vitesse donnée, et on cherche la longueur du troisième côté.

Etape 4 :

On résous le problème dans le monde mathématique, en deux étapes :

- on va d'abord calculer la longueur de l'hypoténuse (un peu de proportionnalité avec une distance inconnue parcourue à vitesse donnée durant une durée donnée)

- si tu es en 4e, tu as dû avoir le réflexe de reconnaître une situation "théorème de Pythagore" pour calculer la distance que l'on cherche.

     Etape 4-1 : je cherche une distance d, que je parcours en 3 minutes à 30 km/heure. 

Je convertis d'abord la vitesse en mètres/minute. Il y a 60 minutes en 1 heure, donc en 1 minute je parcours 60 fois moins de distance qu'en une heure. Si je parcours 30 km en une heure, je parcours donc 1/2 km en une minute, c'est-à-dire 500m. Donc j'ai une vitesse de 500 m/min. 

Or je mets 3 minutes pour passer de la station au sommet de la montagne, je parcours donc une distance de 3 x 500m = 1 500m.

     Etape 4-2 : je connais maintenant la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle (1 500m) et une des deux longueurs adjacentes à l'angle droit (180 m, la hauteur de la montagne). Le triangle est rectangle, je peux donc appliquer le théorème de Pythagore : 1 500^2 = 180^2 + d^2.

Donc d^2 = 1500^2 - 180^2 = 2 217 000. Donc d = racine carrée de 2 217 000 = 1 489 m environ (arrondi au mètre près). 

Si tu n'es pas en 4e, c'est normal que tu ne comprennes pas ce passage. Crois-moi juste si je te dis qu'on trouve que la longueur du troisième côté du triangle rectangle est environ 1 489m. Si tu es en 4e mais que tu n'as pas compris ce passage, je t'invite à relire ton cours sur le théorème de Pythagore =P

Etapes 5 et 6 : 

Je vais maintenant traduire le résultat obtenu dans le monde mathématique en résultat dans le monde réel. Ici, c'est facile : cela veut simplement dire que Giuseppe parcourt 1 489m environ entre la station et le pied de la montagne.

Etape 7 : 

Je réfléchis maintenant aux implications que ce résultat représente dans le monde réel. Je trouve que Giuseppe parcourt environ 1,5 km dans le fond de la vallée. Or ce 1,5 km correspond également à la longueur trouvée pour le câble du téléphérique !

Remarque 1 : nous aurions pu nous passer du théorème de Pythagore. En effet, dans un triangle rectangle où un des côtés de l'angle droit a une longueur environ 10 fois plus petite que l'hypoténuse, le troisième côté a forcément une longueur proche de celle de l'hypoténuse. Le triangle est quasiment isocèle, vous pouvez tracer un exemple pour vous en convaincre : je vous présente ici un exemple réalisé sur Geogebra avec une hypoténuse de longueur 1 500 et un côté de l'angle droit mesurant 180.

Remarque 2 : il n'est pas très réaliste de représenter la montagne par un segment vertical, on néglige ainsi sa largeur.

Remarque 3 : nous avons approximé le câble du téléphérique par un segment, mais il n'est pas très réaliste non plus de considérer que le câble est parfaitement tendu entre les deux stations. Il est probablement plutôt lâche.

Remarque 4 : nous avons considéré que la vitesse du téléphérique était constante. Pourtant, quiconque a pris un téléphérique dans sa vie sait que la vitesse est plus faible aux abords des stations et plus élevée au court du chemin. Cela n'était donc pas très réaliste non plus.

Forts de ces remarques, nous pourrions à présent reparcourir un cycle de modélisation en modifiant le modèle (triangle rectangle) et les hypothèses prises à l'étape 2 (vitesse constante, longueurs considérées, etc).

Voilà, c'est ça faire de la modélisation. Si on résume tout ça :

1) il faut comprendre le problème ;

2) on simplifie le problème et on se rapproche de quelque chose qui ressemble à des situations mathématiques que l'on connaît (ici on a transformé le problème de la réalité en une situation de triangle rectangle), et on pose des hypothèses sur les données que l'on a et éventuellement sur celles qui nous manquent (ici on a par exemple considéré que le téléphérique avait une distance constante et que la largeur de la montagne ne nous intéressait pas) ;

3) on résous le problème mathématique ;

4) on interprète les résultats mathématiques dans le monde réel ;

5) on se demande si le résultat obtenu est cohérent avec ce qu'on attendrait. On se demande également si le modèle et/ou les hypothèses peuvent être améliorées.

C'est ça que tu vas devoir faire lors de ces défis de modélisation =) Ca risque de ne pas être facile les premières fois, mais je vais te donner des problèmes qui seront simples au départ, puis de plus en plus durs le long des vacances. Et nous nous retrouverons le vendredi pour discuter de ce que nous aurons fait. J'espère ne pas t'avoir découragé et je compte sur toi dès lundi pour le premier problème de modélisation ! Courage !